Intégration des collections topologiques et des transformations dans un langage fonctionnel. (Integration of topological collections and transformations into a functional language)

ion : règle (comb-K). M est de la forme fun z → C où C est soit une variable différente de z, soit un opérateur, soit un setm, soit un getm. Dans ce cas, [M ] vaut K C. On cherche à montrer que fun z → C ≃ (fun x → fun y → x)C. Or on a : (fun x → fun y → x)C / s → fun y → C / s (on suppose ici que C n’est pas la variable y pour éviter les considérations sur l’alpha-conversion lors de l’application des substitutions). Donc on a (fun x → fun y → x)C ≃ fun y → C. Il reste donc à montrer que fun y → C ≃ fun z → C. Nous avons supposé que C n’est pas y et C ne peut être z. Par conséquent, on peut montrer par la règle (eq− ζ ′) que cette équivalence est bien vérifiée. Ceci montre que si [M ] est de la forme K C alors M ≃ [M ]. Abstraction : règle (comb-I). M est de la forme fun y → y et [M ] vaut I. Or I vaut fun x → x. On montre simplement que fun x → x ≃ fun y → y par la règle (eq − ζ ′). Ceci montre que si [M ] est de la forme I alors M ≃ [M ].ion : règle (comb-I). M est de la forme fun y → y et [M ] vaut I. Or I vaut fun x → x. On montre simplement que fun x → x ≃ fun y → y par la règle (eq − ζ ′). Ceci montre que si [M ] est de la forme I alors M ≃ [M ]. Abstraction : règle (comb-S). M est de la forme fun x → (N1 N2), on pose N ′ 1 = [fun x → N1] et N ′ 2 = [fun x → N2]. Dans ce cas, [M ] vaut S N ′ 1 N ′ 2. Par hypothèse d’induction, on a [fun x → N1] ≃ fun x → N1 et [fun x → N2] ≃ fun x → N2. Donc, [M ] ≃ S (fun x → N1) (fun x → N2). Il nous faut donc montrer que fun x → (N1 N2) ≃ S (fun x → N1) (fun x → N2). Commençons par réduire le terme de droite. Les termes S et fun x → N1 sont des valeurs (S est une abstraction) donc on peut réduire l’application gauche :ion : règle (comb-S). M est de la forme fun x → (N1 N2), on pose N ′ 1 = [fun x → N1] et N ′ 2 = [fun x → N2]. Dans ce cas, [M ] vaut S N ′ 1 N ′ 2. Par hypothèse d’induction, on a [fun x → N1] ≃ fun x → N1 et [fun x → N2] ≃ fun x → N2. Donc, [M ] ≃ S (fun x → N1) (fun x → N2). Il nous faut donc montrer que fun x → (N1 N2) ≃ S (fun x → N1) (fun x → N2). Commençons par réduire le terme de droite. Les termes S et fun x → N1 sont des valeurs (S est une abstraction) donc on peut réduire l’application gauche : S (fun x → N1) (fun x → N2) / s → E1 (fun x → N2) / s (8) où E1 est (fun g → fun z → ((fun x → N1) z) (g z)). Là aussi les deux parties de l’application sont des valeurs et on peut donc la réduire : E1 (fun x → N2) / s → E2 / s (9) où E2 est fun z → ((fun x → N1) z) ((fun x → N2) z). On a donc par (8) et (9) : S (fun x → N1) (fun x → N2) ≃ fun z → ((fun x → N1) z) ((fun x → N2) z) Il reste donc à montrer que : fun x → (N1 N2) ≃ fun z → ((fun x → N1) z) ((fun x → N2) z) Montrons ceci par la règle (eq− ζ ′)). Nous appliquerons les deux termes à la variable frâıche X. Commençons par le terme de droite : (fun z → ((fun x → N1) z) ((fun x → N2) z))X / s → ((fun x → N1) X) ((fun x → N2) X) / s (10) (car z n’apparâıt pas dans N1 ni dans N2). Or on a (fun x → N1)X ≃ N1{x ← X} car on a : (fun x → N1)X / s → N1{x ← X} / s De même on a (fun x → N2)X ≃ N2{x ← X}. Donc, par remplacement d’égal à égal on a : ((fun x → N1) X) ((fun x → N2) X) ≃ (N1{x ← X}) (N2{x ← X}) (11)